Diketahui \( U_n \) menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri yang suku-sukunya positif. Jika \( U_7-U_3=24\sqrt{2} \) dan \( U_5 = 3\sqrt{3} U_2 \), suku ke-6 barisan tersebut adalah…
- \( \sqrt{2} \)
- \( \sqrt{6} \)
- \( 3\sqrt{6} \)
- \( 9\sqrt{2} \)
- \( 9\sqrt{6} \)
(UNBK MTK IPA 2018)
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan geometri yaitu \( U_n = ar^{n-1} \) sehingga untuk \( U_7-U_3=24\sqrt{2} \) dan \( U_5 = 3\sqrt{3} U_2 \), diperoleh:
\begin{aligned} U_7-U_3 &= 24\sqrt{2} \\[8pt] ar^6-ar^2 &= 24\sqrt{2} \qquad \cdots (1) \\[8pt] U_5 &= 3\sqrt{3}U_2 \\[8pt] ar^4 &= 3\sqrt{3} \ ar \\[8pt] r^3 &= 3\sqrt{3} \Leftrightarrow r^3 = (\sqrt{3})^3 \\[8pt] r &= \sqrt{3} \end{aligned}
Selanjutnya, masukkan \( r = \sqrt{3} \) ke persamaan (1) di atas, diperoleh:
\begin{aligned} ar^6-ar^2 &= 24\sqrt{2} \\[8pt] a(\sqrt{3})^6-a(\sqrt{3})^2 &= 24\sqrt{2} \\[8pt] 27a-3a &= 224\sqrt{2} \\[8pt] 24a &= 24\sqrt{2} \\[8pt] a &= \sqrt{2} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_6 &= (\sqrt{2})(\sqrt{3})^5 \\[8pt] &= (\sqrt{2})(\sqrt{3})^4 \sqrt{3} \\[8pt] &= 9\sqrt{6} \end{aligned}
Jawaban E.